Ce manuscrit se compose de cinq chapitres ainsi que d'une conclusion générale et d'une liste bibliographique. Ce travail présente de nouveaux résultats sur la stabilité en temps fini des systèmes non linéaires. En outre, le cas où le temps de convergence est une fonction bornée est étudié. Cette propriété, appelée stabilité en temps fixe, est étudiée dans le cas de systèmes non homogènes. Une nouvelle approche pour étudier FTS et FxTS pour les systèmes non linéaires, spécialement ceux qui n'ont pas d'approximation homogène, est introduite. Stabilité des trajectoires des systèmes par rapport aux perturbations exogènes est également établie pour certaines classes de systèmes non linéaires. Après avoir introduit les outils principaux (propriétés de stabilité et de robustesse ainsi que la notion d'homogénéité), nous introduisons la notion d'extensions homogènes (chapitre 4). Ce concept fournit des outils qualitatifs pour étudier la robustesse et le taux de convergence de systèmes non linéaires qui n'admettent pas d'approximation homogène à l'origine ni à l'infini. En particulier, pour les systèmes non linéaires à extension homogène, nous fournissons une construction de fonction de Lyapunov homogène lorsque le système est globalement asymptotiquement stable. A partir de ce résultat, nous qualifions le taux exact de convergence des systèmes dynamiques en ce qui concerne le degré d'homogénéité de leurs extensions homogènes. Ainsi, le problème de l’analyse de la stabilité entrée-état (ISS) et la stabilité entrée-état en temps fini (FTISS) est étudié pour des systèmes homogènes à fonction multiplicative bornée: la propriété ISS / FTISS est préservée si la partie bornée satisfait certaines conditions suffisantes. Ces résultats sont une généralisation de ce qui a déjà été prouvé pour les systèmes homogènes (le cas où la partie bornée est une fonction constante). Enfin, dans le cinquième chapitre, le problème de la stabilité en temps fini et en temps fixe des systèmes dynamiques non linéaires, qui peuvent ne pas admettre une extension homogène, est considéré. De nouveaux concepts garantissant la symétrie des solutions pour les systèmes dynamiques, appelés sup- ou sous-homogénéité, sont introduits. Ces notions sont utilisées pour étudier la stabilité en temps fini (FT) et en temps fixe (FxT) des inclusions différentielles. L'existence d'une fonction de Lyapunov homogène pour une inclusion différentielle, qui est sup- / sub-homogène et globalement asymptotiquement stable est étudiée. Les résultats FTS et FxTS sont étudiés en prenant en considération le signe du degré de sup- / sub-homogénéité. De plus, les notions d'extension sup- et sub-homogène sont introduites pour les systèmes dynamiques non linéaires, qui n'admettent pas d'extension homogène. Par conséquent, un nouvel algorithme pour établir les résultats de stabilité FT et FxTS pour les systèmes non linéaires en utilisant les notions d'extension sup / sub-homogène est considéré. En particulier, des conditions suffisantes que le champ vectoriel doit remplir pour garantir la stabilité FT et FxT sont présentées. Ensuite, un contrôleur à temps fixe a été conçu en utilisant les résultats obtenus pour des systèmes non homogènes. De plus, un algorithme d'observation en temps fini et sa procédure de conception pour un système de type canonique ont été obtenus. Toutes les applications considérées peuvent ne pas admettre une approximation homogène. En outre, tous ces résultats ont été obtenus sans construire une fonction de Lyapunov à temps fini ou à temps fixe. Comme dans le chapitre 4, la robustesse vis-à-vis des perturbations exogènes a été vérifiée à l'aide des propriétés ISS et FTISS.
M. Yacine CHITOUR - Université Paris-Saclay - Rapporteur M. Jean-Pierre BARBOT - ENSEA - Rapporteur M. Denis EFIMOV - INRIA - Co-directeur de thèse M. Jean-Michel CORON - Université Pierre et Marie Curie - Examinateur M. Lionel ROSIER - ULCO - Examinateur Mme Dorothée NORMAND-CYROT - CNRS - Examinatrice M. Wilfrid PERRUQUETTI - Centrale Lille - Invité M. Andrey POLYAKOV - INRIA - Invité
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