L'objectif de la thèse est de développer une méthode constructive pour l'analyse de stabilité et la conception de contrôle de systèmes dynamiques qui doivent être stabilisés au point d'équilibre plus rapidement qu'exponentiellement (par exemple, hyperexponentiellement ou en temps fini/fixe). Pour cet objectif, il a été proposé de formuler les théorèmes de Lyapunov pour les fonctions de Lyapunov implicitement définies (fonctionnelles). Une telle approche permet de représenter les conditions de stabilité sous la forme d'inégalités matricielles linéaires et d'équations résolubles numériquement. Pour démontrer les avantages de la méthode implicite de Lyapunov, les problèmes suivants ont été résolus dans la thèse. Tout d'abord, des versions modifiées de la méthode de Lyapunov-Razumikhin pour l'analyse de la stabilité hyperexponentielle et à temps fixe des systèmes à retard ont été formulées. La principale caractéristique de la méthode est que l'analyse de stabilité est effectuée en introduisant une fonction de Lyapunov plutôt qu'une fonctionnelle (comme dans l'approche de Lyapunov-Krasovskii). De ce fait, on peut initialement choisir la même fonction de Lyapunov que pour l'analyse du système sans retard correspondant. L'efficacité de la méthode proposée a été démontrée en résolvant le problème de la stabilisation hyperexponentielle et à temps fixe d'une sous-classe de systèmes à retard. Deuxièmement, le problème de la stabilisation pratique à temps fixe de sortie d'un système linéaire en utilisant des retards artificiels en présence d'incertitudes paramétriques, de perturbations externes et de bruits de mesure a été considéré. Contrairement à la conception basée sur l'observateur, le vecteur d'état est approximé par des différences finies et, par conséquent, le schéma de contrôle proposé est statique. Pour prouver la stabilité du système en boucle fermée, la méthode de Lyapunov-Krasovskii a été étendue pour une analyse pratique de la stabilité entrée-état à temps fixe des systèmes à retard neutre. De plus, il a été montré que le système régulé par le contrôleur non linéaire proposé converge plus rapidement vers l'ensemble invariant donné que dans le cas de l'utilisation de son homologue linéaire. Troisièmement, le problème de la stabilisation en temps fini de la sortie des systèmes linéaires sous contraintes d'état en présence de perturbations externes et de bruits de mesure a été abordé. Pour résoudre le problème, il a été proposé de concevoir une loi de commande continue, linéaire lorsque les trajectoires du système risquent de violer les contraintes d'état, et non linéaire dans le cas contraire. Alors que la commande linéaire garantit une stabilisation exponentielle du système sous les contraintes d'état, la commande non linéaire accélère la vitesse de convergence vers le point d'équilibre. Par rapport aux solutions existantes du problème, l'approche proposée simplifie considérablement la conception du contrôle. Les résultats théoriques obtenus démontrent que la méthode implicite de Lyapunov peut être appliquée efficacement pour résoudre un large éventail de problèmes liés à l'analyse et à la stabilisation de la stabilité superexponentielle. Le principal avantage de la méthode développée est qu'elle permet de calculer les paramètres d'un système de contrôle non linéaire synthétisé, ce qui est particulièrement important pour la mise en œuvre pratique.
M. Wilfrid PERRUQUETTI Centrale Lille Institut Directeur de thèse M. Igor FURTAT ITMO University M. Alexander ALEKSANDROV Saint Petersburg State University Rapporteur M. Pierdomenico PEPE University of L'Aquila Rapporteur Mme Emilia FRIDMAN Tel-Aviv University Examinatrice Mme Elena PANTELEY CentraleSupélec Examinatrice M. Denis EFIMOV Inria Centre de recherche Lille Nord Europe Invité M. Andrey POLYAKOV Inria Centre de recherche Lille Nord Europe Invité
Thèse de l'équipe VALSE soutenue le 07/10/2022
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