Les figures qui restent identiques à elle-même lorsque la transformation de Hilbert (H) est appliquée une ou appliquée plusieurs fois (HxHx...H = H^e) ont des structures particulières qui composent d'agréables dessins géométriques. L'énumération systématique des invariants est possible pour les petites valeurs de l'exposant e.
Voici quelques invariants pour diverses tailles d'images : Ce sont 8 des figures invariantes du carré 16x16, parmi les 264 figures en noir et blanc qui restent invariantes par H^64
Lorsque l'on déplace la courbe de Hilbert d'un quart de sa longueur certaines figures restent invariantes. Pour cela, il faut qu'elles représentent un motif qui tourne selon des règles bien précises. La figure 1 montre la disposition que doivent avoir les 4 parties du carré pour que le dessin reste invariant globalement quand la courbe de Hilbert glisse d'un quart de sa longueur. La figure 2 montre la disposition des sous-carrés d'une image invariante par glissement de 1/16 de sa longueur. De même la fig 3 pour 1/64, la fig 4 pour 1/256, la fig 5 pour 1/1024 et la fig 6 pour 1/4096.
