La courbe de Hilbert est une courbe de Peano, c'est-à-dire une courbe continue qui recouvre une aire non nulle du plan. On peut s'en faire une idée en considérant les étapes successives de sa construction, qui sont des courbes finies parcourrant les cases d'un carré découpé en carrés plus petits. La courbe limite est continue et passe par tous les points du carré : elle recouvre le carré. Cependant, contrairement aux courbes intermédiaires qui ne passent jamais deux fois par un même point, la courbe limite passe plusieurs fois par certains points. Les courbes définissent des méthodes pour énumérer sans jamais faire de saut les différentes cases d'un carré de coté 2^(2n) petits carrés. C'est cette propriété qui est utilisée pour la définition de la transformation de Hilbert
On prend une courbe intermédiaire de Hilbert parcourant tous les pixels d'une image de taille (2^n)x(2^n) et on convient de déplacer chaque pixel en suivant le dessin de la courbe : le pixel 1 va occuper la place du pixel 2, le pixel 2 va occuper la place du pixel 3, etc. Le dernier pixel revient prendre la place du pixel 1. Si on prend une figure de 8x8 pixels colorés (fig 1), que l'on applique la transformation de Hilbert associée à la courbe intermédiaire du carré 8x8 (fig 2), les pixels se déplacent et on obtient le dessin Fig 3.
Prenons maintenant une image plus grande, de taille 512x512, et examinons ce qui se passe. L'application déplace tous les pixels d'un point à chaque fois qu'on l'utilise. Elle reconstituera le dessin initial au bout de 512x512 étapes. Les figures représentent le résultat de l'application de la transformation de Hilbert du carré 512x512 aux étapes 0, 1, 10, 100, 1000, 10000, 16384, 65536
Le second dessin montre qu'une seule application de la transformation brouille très peu l'image. Au bout de 10 étapes (dessin 3) et encore plus, au bout de 100 étapes, (dessin 4) le flou devient important. Lorsque la transformation a été appliquée 1000 fois (dessin 5) ou 10000 fois (dessin 6) l'image n'est plus identifiable.
Notons cependant que lorsque l'on applique la transformation N fois, avec pour N un multiple d'une puissance de 2, alors des carrés bien nets de l'image initiale sont visibles. Le dessin 7 montre le résultat de l'application de la transformation de Hilbert 2^14 = 16384 fois (ce qui correspond à un déplacement d'un seizième de la courbe). Pour le dessin 8 correspondant à un déplacement d'un quart de la courbe, on voit les quatre quarts de l'image initiale qui ont été déplacés et tournés.
