Calcul Numérique

Table des matières


Algèbre Linéaire Numérique

Le cours porte sur l'algèbre linéaire numérique : résolution de systèmes d'équations linéaires, moindres carrés, calcul de valeurs propres.

GIS2A4

Progression

  1. Les deux premiers TD portent sur la factorisation LU, la résolution de systèmes d'équations linéaires, l'importance de la condition d'une matrice et une introduction à FORTRAN : td1.pdf, td2.pdf
  2. Le troisième TD porte sur la factorisation QR, les réflexions de Householder et l'application aux problèmes de moindres carrés : td3.pdf
  3. Le quatrième TD porte sur la méthode de la puissance avec une application à l'algorithme du Page rank : td4.pdf
  4. Le cinquième TD porte le calcul de la factorisation de Schur d'une matrice symétrique avec une application à l'analyse en composantes principales. Le fichier de données eu.mat et la feuille td5.pdf sont extraits de cette page-ci.
  5. Le sixième TD porte sur l'algorithme QR : td6.pdf et td7.pdf.

Projet

Examens des années précédentes

GIS3

Progression

  1. Introduction. Nombres à virgule flottante. Erreur absolue et erreur relative. Notion d'arithmétique flottante. Epsilon machine.
  2. Résolution de systèmes triangulaires. Le code écrit en cours : subst_avant.tgz. Implantation en FORTRAN. TD 1.
  3. Factorisation triangulaire. Matrices symétriques définies positives. La méthode de Cholesky. LAPACK : dpotrf.f. TD 2.
  4. Factorisation triangulaire. Le pivot de Gauss. Conditionnement et stabilité. Condition d'une matrice. LAPACK : dgetrf.f (factorisation triangulaire), dgetrs.f (résolution après factorisation) et dlange.f.
  5. Factorisation QR. Vecteurs orthogonaux, matrices orthogonales. L'algorithme de Householder. Utilisation des vecteurs mémorisés pour réaliser la multiplication par Q ou sa transposée. Les fonctions LAPACK dgeqrf.f et dormqr.f. TD 3.
  6. Moindres carrés. Méthode historique, par le système des équations normales et méthode moderne, par la factorisation QR. Résolution de systèmes surdéterminés : dgels.f.
  7. Valeurs propres. Rappels mathématiques. La factorisation de Schur. Cas des matrices symétriques. Résoudre Ax = b, c'est exprimer b comme combinaison linéaire des colonnes de la matrice A.
  8. Valeurs propres. La méthode de la puissance, le quotient de Rayleigh et la méthode de la puissance inverse. TD 5.
  9. Valeurs propres. L'algorithme QR naïf.
  10. Valeurs propres. Application de la factorisation de Schur à l'analyse en composantes principales. L'algorithme QR avec shifts. Mise sous forme de Hessenberg. Utilisation des décalages (shifts). Déflation. LAPACK : dsyev.f, dsytrd.f dans le cas des matrices symétriques. TD 6.

Projet 2017

Examens des années précédentes

Documents


Intégration Numérique

Le cours porte sur l'interpolation polynomiale, l'intégration numérique (calcul d'intégrale) et l'intégration des équations différentielles.

GIS4

Pour la progression, voir la section consacrée aux GIS2A5.

Examens des années précédentes

GIS2A5

Progression

  1. Motivation par la modélisation de dynamiques de population. Interpolation. Formule de Lagrange. Différences divisées de Newton.td1.pdf. correction-td1.pdf.
  2. Interpolation. Splines. td2.pdf. L'archive qui accompagne le TD archive-spline.tgz.
  3. Intégration numérique. Formule des trapèzes, de Simpson. td3.pdf et td4.pdf.
  4. Équations différentielles. Introduction. Schéma d'Euler.
  5. Équations différentielles. Schémas de Runge-Kutta. td5.pdf.
  6. Équations différentielles. Schémas à pas adaptatif. Sortie dense.

Projet

  1. Intégration numérique. Le tp1.
  2. Équations différentielles. Le tp2.

Examens des années précédentes

Documents